ÉLECTRICITÉ • COURS ET EXERCICES CORRIGÉS
Théorème de Thévenin
Simplifiez un circuit complexe en une source de tension et une résistance, puis calculez facilement le courant dans sa charge.
Un circuit contient plusieurs résistances et vous devez essayer différentes charges ? Refaire tous les calculs serait fastidieux. Le modèle de Thévenin permet de remplacer le réseau qui alimente la charge par un générateur équivalent, calculé une seule fois.
1. Comprendre le principe
Pour un réseau linéaire résistif en régime continu qui admet un équivalent de Thévenin aux bornes A-B, la partie du circuit située hors de la charge se remplace par une source idéale de tension Vth en série avec une résistance Rth. La charge reconnectée reçoit la même tension et le même courant que dans le circuit initial [1].
Rth = résistance équivalente du réseau vue depuis A-B.
RL = résistance de charge, extérieure au réseau à remplacer.
2. Les formules à retenir
On choisit Vth = VA − VB et IL positif de A vers B dans la charge. Si le calcul donne IL négatif, le courant réel circule dans le sens inverse. Le modèle préserve le comportement aux bornes, pas les courants dans chaque branche interne.
3. La méthode en quatre étapes
① Déconnecter la charge. Repérer A et B, puis retirer RL seulement. Conserver les autres résistances et toutes les sources pour calculer Vth.
② Calculer Vth. Déterminer la tension à vide VA − VB par un pont diviseur, la loi des nœuds ou une autre méthode adaptée.
③ Calculer Rth. Avec RL toujours retirée, annuler les sources indépendantes idéales : une source de tension de 0 V devient un court-circuit ; une source de courant de 0 A devient un circuit ouvert. Calculer ensuite la résistance vue de A-B.
④ Reconnecter RL. Utiliser le circuit Vth–Rth–RL en série et appliquer les formules de la page précédente.
4. Exemple 1 : pont diviseur chargé
Données : E = 12 V, R1 = 4 Ω, R2 = 8 Ω et RL = 6 Ω. Objectif : trouver le courant IL et la tension UL dans la charge.
A. Tension de Thévenin. Après retrait de RL, R1 et R2 sont en série aux bornes de E. La tension à vide A-B est celle de R2.
Exemple 1 : résistance et résultat
B. Résistance de Thévenin. La source E est remplacée par un fil. Depuis A-B, R1 et R2 relient maintenant les deux mêmes nœuds : elles sont en parallèle.
C. Reconnexion de la charge. Attention à garder la valeur exacte 8/3 Ω jusqu’au résultat final, afin de limiter les erreurs d’arrondi.
UL = 6 × 12/13 = 72/13 V ≈ 5,54 V
Vérification directe. Dans le circuit initial, R2 ∥ RL = 24/7 Ω. Le pont diviseur donne UL = 12 × (24/7)/(4 + 24/7) = 72/13 V : le résultat est identique.
RL = 3 Ω → IL ≈ 1,412 A et UL ≈ 4,24 V.
RL = 12 Ω → IL ≈ 0,545 A et UL ≈ 6,55 V.
Vth et Rth restent inchangés : seul RL varie.
5. Exemple 2 : deux sources de tension
Données : E1 = 18 V, E2 = 6 V, R1 = 6 Ω et R2 = 3 Ω. Les bornes négatives des sources sont reliées à B ; leurs bornes positives alimentent A par R1 et R2. La charge à reconnecter vaut RL = 4 Ω.
A. Charge retirée. La loi des nœuds en A donne (VA − 18)/6 + (VA − 6)/3 = 0. En multipliant par 6 : VA − 18 + 2VA − 12 = 0, donc VA = 10 V et Vth = 10 V.
B. Sources annulées. Les deux sources idéales de tension deviennent des fils. R1 et R2 sont alors en parallèle : Rth = (6 × 3)/(6 + 3) = 2 Ω.
UL = 4 × 5/3 = 20/3 V ≈ 6,67 V
6. Les erreurs à éviter
• Confondre la charge RL avec une résistance interne du réseau.
• Annuler les sources avant de calculer Vth.
• Remplacer une source de tension par un circuit ouvert.
• Croire que UL = Vth lorsque la charge consomme un courant.
• Annuler une source dépendante : elle doit rester active.
Cas des sources dépendantes. Pour trouver Rth, annuler seulement les sources indépendantes, garder les sources dépendantes actives et appliquer une source d’essai aux bornes A-B. Avec le courant d’essai entrant dans le réseau par A, Rth = Vessai/Iessai [2].
7. À vous de jouer
Reprenez le montage de l’exemple 1 avec E = 24 V, R1 = 6 Ω, R2 = 3 Ω et RL = 4 Ω. Calculez Vth, Rth, IL et UL avant de lire la correction.
Vth = 24 × 3/(6 + 3) = 8 V.
Rth = 6 × 3/(6 + 3) = 2 Ω.
IL = 8/(2 + 4) = 4/3 A ≈ 1,33 A.
UL = 4 × 4/3 = 16/3 V ≈ 5,33 V.
8. Questions fréquentes
Peut-on utiliser Thévenin en alternatif ? Oui, en régime sinusoïdal linéaire, à une fréquence donnée. On utilise les impédances complexes : I̲L = V̲th/(Zth + ZL). Les calculs de ce cours portent sur le régime continu résistif.
Quel lien avec Norton ? Lorsque Rth est non nul et fini, le modèle de Norton utilise IN = Vth/Rth en parallèle avec RN = Rth. Le courant de court-circuit théorique de A vers B vaut alors IN.
Quand la puissance dans RL est-elle maximale ? Pour un générateur de Thévenin résistif avec Rth > 0, elle est maximale lorsque RL = Rth. Cela ne signifie pas que le rendement est maximal.
La fiche mémo
→ reconnecter RL → IL = Vth/(Rth + RL)
Pour vos révisions, commencez toujours par dessiner les bornes A-B et indiquer le sens du courant. Un schéma bien repéré rend les calculs plus rapides et les erreurs plus faciles à détecter.
Références pédagogiques
[1] University of Central Florida, EEL 3123, « Circuit Analysis Techniques », partie Background.
[2] Prof. Rich Kozick, Bucknell University, « Methods for Finding Thevenin Model ».
Texte, schémas et exemples numériques préparés pour ESA Cours. Les références étayent le principe et la méthode ; les exemples sont originaux.
[1] UCF : Circuit Analysis Techniques
[2] Bucknell : Methods for Finding Thevenin Model
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